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246章 导修课(1 / 4)

研究巴拿赫空间之前,我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

赋范线性空间是距离空间,希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间,巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

作为资深专家,具备大师水平的数学研究者,穆勒和沈同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

内积空间的内积可以定义范数,而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例,而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。

所以,沈基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下:

“巴拿赫空间x的一个非空子集c称为逼近紧的,是指对任意{xn}∞n=1∈c及任意y∈x,如果使得

‖xn-y‖→dist(y,c)=inf{‖xn-y‖:x∈c},

那么{xn}∞n=1存在一个柯西列,称x是逼近紧的,且x的每个闭凸子集是逼近紧。”

“思路逐渐清晰,沈你认为一个巴拿赫空间x是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈设定的前提条件。

巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支,是一个有难度的领域,不适合初学者接触。

“没错。”沈和穆勒交流起来非常通畅,聪明人不废话,数学家不啰嗦。

“需要我做什么?”穆勒教授问到,并没有摆出教授及导师的架子,他视沈为平等的学术合作伙伴,如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。

在学术平等对待徒弟的师傅,往往能跟弟子一同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯,他在数学史的声望评价为负分。

沈说到:“巴拿赫空间的rnp性质和鞅理论

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